Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке [4;19] нужно найти ее критические точки в этом интервале, а затем сравнить значения функции в данных точках.

Найдем производную функции: y'(x) = 2(x-6)(x-3) + (x-6)^2.

Решим уравнение y'(x) = 0:
2(x-6)(x-3) + (x-6)^2 = 0
2(x-6)(x-3) + (x-6)(x-6) = 0
(x-6)(2(x-3)+(x-6)) = 0
(x-6)(3x-12) = 0
x=6 или x=4

Найдем значение функции в точках x=4, x=6 и x=19:
y(4) = (4-6)^2(4-3)+3 = 5
y(6) = (6-6)^2(6-3)+3 = 3
y(19) = (19-6)^2(19-3)+3 = 1536

Из полученных значений наибольшее значение функции равно 1536.