1) База индукции: при n = 1 получаем 5^1 + 3 = 8, 8 делится на 4.

Шаг индукции: предположим, что для n = k выполняется условие, т.е. 5^k + 3 делится на 4. Рассмотрим n = k + 1: 5^(k+1) + 3 = 5*5^k + 3 = 5(5^k) + 3. По предположению, выражение 5^k + 3 делится на 4, значит, оно равно 4m для некоторого целого значения m. Тогда 5(5^k) + 3 = 4m + 5 = 4(m + 1) + 1, то есть число делится на 4.

2) Докажем сначала, что 5^n делится на 10:

База индукции: при n = 1 получаем 5^1 = 5, которое делится на 10.

Шаг индукции: предположим, что для n = k 5^k делится на 10. Рассмотрим n = k + 1: 5^(k+1) = 55^k. По предположению, 5^k делится на 10, значит, 55^k делится на 10.

Аналогичное рассуждение можем применить для 6^m:

База индукции: при m = 1 получаем 6^1 = 6, которое делится на 10.

Шаг индукции: предположим, что для m = k 6^k делится на 10. Рассмотрим m = k + 1: 6^(k+1) = 66^k. По предположению, 6^k делится на 10, значит, 66^k делится на 10.

Теперь для выражения 5^n + 6^(n-1):

5^n + 6^(n-1) = 5^n + 6*6^(n-1) = 5^n + 6^n.

Как было доказано ранее, каждое слагаемое делится на 10, значит, их сумма также делится на 10.

3) База индукции: при n = 1 получаем 9^1 + 1 - 8*1 - 9 = 1, что делится на 64.

Шаг индукции: предположим, что для n = k выполнено условие, т.е. 9^k+1 - 8k - 9 делится на 64. Рассмотрим n = k + 1: 9^(k+1) + 1 - 8(k+1) - 9 = 99^k + 1 - 8k - 8 - 9. Заметим, что последние два слагаемых суммируются в -17, тогда 9*9^k + 1 - 8k - 17 = 9(9^k + 1) - 8k - 17. По предположению, 9^k + 1 - 8k - 9 делится на 64, то есть равно 64m для некоторого целого m. Следовательно, 9(9^k+1) - 8k - 17 = 64m - 17 = 64(m-1) + 47, что делится на 64.

Таким образом, все три утверждения доказаны индукцией.