Предположим, что так нельзя сделать, т.е. для любых 2000 подряд идущих натуральных чисел найдутся такие подряд идущие числа, среди которых чёрных и белых чисел больше, чем в других.

Обозначим черное число за +1, а белое за -1. Посмотрим на сумму черных и белых чисел в каждой последовательности из 2000 чисел. По условию, разность количеств черных и белых чисел не превышает 1000, значит сумму черных и белых чисел можно ограничить отрезком [-1000, 1000].

Так как для любых 2000 подряд идущих чисел сумма черных и белых чисел различается, то различных сумм будет больше, чем чисел на отрезке [-1000, 1000]. Таким образом, обязательно найдутся две последовательности из 2000 чисел с одинаковыми суммами. Обозначим эти две последовательности чередующимися знаками числами a_1, a_2, ..., a_2000 и b_1, b_2, ..., b_2000 соответственно.

Рассмотрим последовательность чисел a_1 b_1, a_2 b_2, ..., a_2000 * b_2000. В данной последовательности будут чередоваться квадраты чисел +1 и -1, т.е. будут чередоваться 1 и -1. Значит, в выбранной последовательности будет поровну черных и белых чисел.

Таким образом, мы доказали, что можно выбрать 2000 подряд идущих натуральных чисел, среди которых чёрных и белых чисел поровну.