Для функции f$x$ = exp$a^{T}x$, матрица Гессиана вычисляется следующим образом:

H = ∇^2f$x$ = ∇$\nabla f(x)$ = ∇$a^{T}exp(a^{T}x)$ = $\nabla a^T$ exp$a^{T}x$ = a$a^T$ exp$a^{T}x$

Ранг матрицы Гессиана равен 1, так как она имеет только одно ненулевое собственное значение.

Для функции f$x$ = exp$a^T•x$, матрица Гессиана будет иметь вид:

H = ∇^2f$x$ = ∇$\nabla f(x)$ = ∇$a^T•exp(a^T•x)$ = $\nabla a^T$ • exp$a^T•x$ = $a(a^T)$ • exp$a^T•x$

Ранг матрицы Гессиана также равен 1, так как она также имеет только одно ненулевое собственное значение.