Сначала запишем данную систему уравнений в виде матрицы:

$$[5,1,2|0],[3,-1,1|0],[2,2,-3|0]$$

Применим метод Гаусса для приведения матрицы к ступенчатому виду:

$$[5,1,2|0],[0,-8/5,-5/5|0],[0,2/5,-17/5|0]$$

Теперь приведем матрицу к улучшенному ступенчатому виду:

$$[5,1,2|0],[0,-8/5,-5/5|0],[0,0,-12/8|0]$$

Теперь выразим значения переменных:

z = 0
-8/5y = -5
y = 5/8
5x + 1$5/8$ + 2$0$ = 0
5x + 5/8 = 0
5x = -5/8
x = -1/8

Таким образом, решение системы уравнений:
x = -1/8
y = 5/8
z = 0