Для начала заметим, что угол BPA1 = угол A, потому что лучи AP и A1B являются продолжениями стороны AB треугольника APB. Аналогично, угол A1CQ = угол A, поскольку лучи AQ и A1C являются продолжениями стороны AC треугольника AQC.

Теперь посмотрим на треугольники APB и AQC:
1) угол BPA1 = угол CQA1 = угол A
2) угол BPC = 53°
3) угол A + угол A + угол BQC = 180° (сумма углов треугольника)

Отсюда получаем, что угол A = (180° - 53°) / 2 = 63.5°

Таким образом, угол BQC = угол A + угол A = 63.5° + 63.5° = 127°.

Ответ: угол BQC равен 127 градусам.