Выражение можно переписать в виде сумм квадратов:

(4x^2y^2 + x^2 + y^2 - 2xy + x + y + 1) = (2xy - 1)^2 + (x - 1)^2 + (y - 1)^2 + 1

Так как все квадраты неотрицательны, наименьшее значение выражения будет достигаться при минимальных значениях x и y. Пусть x = 1, y = 1, тогда:

(211 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + 1 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 1.