Для доказательства данного тождества мы будем использовать тригонометрические тождества.

Начнем с левой части тождества:

$cos{a}^4+si{n}^2(2a)$ / $1-cos(4a)$ * tg^2$2a$

Раскрываем числитель:

cos^4$a$ = $1+cos(2a)$ / 2

sin^2$2a$ = 1 - cos^2$2a$ = 1 - $1-2si{n}^2(a)$ = 2sin^2$a$

Теперь подставим полученные выражения в исходное тождество:

$(1+cos(2a))/2+2si{n}^2(a)$ / $1-cos(4a)$ * tg^2$2a$

Раскрываем знаменатель:

1 - cos$4a$ = 1 - $co{s}^2(2a)-si{n}^2(2a)$ = 1 - cos^2$a$ + sin^2$a$ = sin^2$a$ + sin^2$2a$ = 2sin^2$a$

Подставляем обратно в выражение:

$(1+cos(2a))/2+2si{n}^2(a)$ / 2sin^2$a$ * tg^2$2a$

Упрощаем:

$1+cos(2a)+4si{n}^2(a)$ / 4sin^2$a$ * tg^2$2a$

Замечаем, что 1 + cos$2a$ = 2cos^2$a$, тогда:

$2co{s}^2(a)+4si{n}^2(a)$ / 4sin^2$a$ * tg^2$2a$

Теперь преобразуем тангенс косинусом:

$2co{s}^2(a)+4si{n}^2(a)$ / 4sin^2$a$ * $sin(2a)/cos(2a)$^2

$2co{s}^2(a)+4si{n}^2(a)$ / 4sin^2$a$ * $2sin(a)cos(a)/co{s}^2(a)$^2

$2co{s}^2(a)+4si{n}^2(a)$ / 4sin^2$a$ * $2sin(a)/cos(a)$^2

(2(cos^2(a) + 2sin^2(a)) / 4sin^2(a) * (2tan(a))^2

(2(1) / 4sin^2(a) * (2tan(a))^2

1 / (2sin^2(a) * (2tan(a))^2

1 / 2

Таким образом, мы доказали исходное тождество:

((cos^4(a) + sin^2(2a)) / (1 - cos(4a)) * tg^2(2a) = 1/2.