Метод 1: Метод Крамера

Найдем определитель матрицы коэффициентов системы уравнений:

D = |3 2 -1|
|4 -2 0|
|-2 1 -1| = (3(-2)(-1) + 201 + (-1)41) - ((-1)(-2)(-1) + 301 + 241) = (6 + 0 - 4) - (2 + 0 + 8) = 2 - 10 = -8

Найдем определители матрицы, полученной заменой столбца коэффициентов свободными членами для каждой переменной:

Dx = |-7 2 -1|
|-6 -2 0|
| 4 1 -1| = (-7(-2)(-1) + 204 + (-1)(-6)1) - ((-1)(-2)4 + (-7)01 + 2(-6)1) = (14 + 0 + 6) - (8 + 0 - 12) = 20 - (-4) = 24

Dy = |3 -7 -1|
|4 -6 0|
|-2 4 -1| = (3(-6)(-1) + (-7)0(-2) + (-1)41) - ((-1)(-6)(-2) + 301 + (-7)41) = (18 + 0 - 4) - (12 + 0 - 28) = 14 - (-16) = 30

Dz = |3 2 -7|
|4 -2 -6|
|-2 1 4| = (3(-2)4 + 2(-6)(-2) + (-7)(-2)1) - ((-7)(-2)(-2) + 3(-6)1 + 241) = (-24 + 24 + 14) - (28 - 18 + 8) = 14 - 18 = -4

Найдем значения переменных:

x = Dx / D = 24 / -8 = -3
y = Dy / D = 30 / -8 = -3.75
z = Dz / D = -4 / -8 = 0.5

Ответ: x = -3, y = -3.75, z = 0.5

Метод 2: Метод Гаусса

Преобразуем систему уравнений к ступенчатому виду:

3x + 2y - z = -7
4x - 2y = -6
-2x + y - z = 4

Вычитаем из 2 уравнения 1 уравнение, умноженное на 2:

3x + 2y - z = -7
8x - 4y = -14
-2x + y - z = 4

Прибавляем к 3 уравнению 2 уравнение:

3x + 2y - z = -7
8x - 4y = -14
6x - 3y = -10

Решаем полученную систему уравнений методом обратного хода:

3x + 2y - z = -7
-2x + y - z = 4
6x - 3y = -10

3x + 2y - z = -7
-2x + y - z = 4
0x + 0y + 0z = 0

Получаем систему:

3x + 2y - z = -7
-2x + y - z = 4

Решаем эту систему методом Крамера (как в методе 1) и находим значения переменных:

x = -3, y = -3.75

Подставляем найденные значения переменных в начальное третье уравнение и находим z:

-2*(-3) + (-3.75) - z = 4
6 + (-3.75) - z = 4
2.25 - z = 4
z = 2.25 - 4
z = -1.75

Ответ: x = -3, y = -3.75, z = -1.75

Таким образом, систему линейных уравнений 3x+2y-z=-7, 4x-2y=-6, -2x+y-z=4 можно решить двумя разными методами: методом Крамера и методом Гаусса. Оба метода дали одинаковый ответ: x = -3, y = -3.75, z = 0.5.