Наибольшая площадь у четырехугольника будет достигаться, когда он будет являться трапецией с параллельными сторонами длиной 9 и 11 и длинами боковых сторон равными 3 и 7.

Для нахождения площади трапеции можно воспользоваться формулой:
S = (a + b) * h / 2, где a и b - длины параллельных сторон, h - высота трапеции.

Высоту трапеции можно найти из прямоугольного треугольника, образованного медианой и одним основанием трапеции 9 и 11. По теореме Пифагора:
h^2 = 7^2 - (11 - 9)^2 = 49 - 4 = 45
h = √45 = 3√5

Подставим значения в формулу площади трапеции:
S = (9 + 11) 3√5 / 2
S = 20 3√5 / 2 = 30√5

Итак, наибольшая площадь у четырехугольника с длинами сторон 3, 7, 9 и 11 равна 30√5.