Для решения данного уравнения можно воспользоваться тригонометрическими тождествами, а именно формулой косинуса удвоенного угла:

$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$

Используем эту формулу для разложения квадратов косинусов:

$\cos^2 x + \cos^2 3x = \cos^2 2x + \cos^2 4x$

$1 + \cos 2x = 2\cos^2 2x - 1 + 1 + \cos 4x = 2\cos^2 4x - 1$

$1 + 2\cos 2x = 4\cos^2 2x - 1 + 1 + 2\cos 4x = 4\cos^2 4x - 1$

Складываем получившиеся уравнения:

$2 + 2\cos 2x + 2\cos 4x = 4\cos^2 2x + 4\cos^2 4x - 2$

$2(1 + \cos 2x + \cos 4x) = 4(\cos^2 2x + \cos^2 4x) - 2$

Теперь воспользуемся тем, что $1 + \cos\theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$:

$4(2\cos^2 x + 2\cos^2 2x) - 2 = 2(2\cos^2 x + 2\cos^2 2x)$

$8\cos^2 x + 8\cos^2 2x - 2 = 4\cos^2 x + 4\cos^2 2x$

$4\cos^2 x + 4\cos^2 2x = 2$

$2(\cos^2 x + \cos^2 2x) = 1$

$\cos^2 x + \cos^2 2x = \frac{1}{2}$

Таким образом, решением уравнения $\cos^2 x + \cos^2 3x = \cos^2 2x + \cos^2 4x$ является $\cos^2 x + \cos^2 2x = \frac{1}{2}$