Для нахождения общего решения дифференциального уравнения Y'' = y' + x, допускающего понижение порядка, мы можем представить y' как производную от y.

Пусть Y = y'

Тогда уравнение примет вид:
Y' = Y + x

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить методом вариации постоянных или методом разделения переменных.

Допустим, имеем уравнение:
Y' - Y = x

Найдем общее решение данного уравнения.

Найдем интегральный множитель:
μ(x) = e^(-x) (euler)

Умножим уравнение на интегральный множитель:
e^(-x)·Y' - e^(-x)·Y = e^(-x)·x

Произведем интегрирование обеих частей уравнения по x:
∫(e^(-x)·Y')dx - ∫(e^(-x)·Y)dx = ∫(e^(-x)·x)dx
e^(-x)·Y - ∫(Y·(-e^(-x)))dx = -e^(-x)·(x+1) + C
e^(-x)·Y + Y·e^(-x) - ∫(-e^(-x)·Y)dx = -e^(-x)·(x+1) + C
Y·e^(-x) = -e^(-x)·(x+1) + C
Y = -x - 1 + C·e^x

Таким образом, общее решение начального уравнения имеет вид:
y(x) = ∫[-x - 1 + C·e^x]dx

где С - постоянная интегрирования.