Для того чтобы выражение (19n + 7) / (7n + 11) было целым числом, необходимо чтобы числитель был кратен знаменателю. То есть, чтобы (19n + 7) было кратным (7n + 11).

Таким образом, (19n + 7) = m*(7n + 11), где m - целое число.

Разберем случаи:

n < 0
При n < 0 числитель (19n + 7) всегда меньше знаменателя (7n + 11), так как коэффициент 19 у n больше, чем у 11, а 7 меньше, чем 7. Следовательно, при n < 0 уравнение не имеет решений.

n >= 0
При n >= 0 разделим оба числовые значения для n. Перенесем все термины, содержащие n, в левую часть уравнения:
19n - 7mn + 7 = 11m
n(19 - 7m) = 11m - 7
n = (11m - 7) / (19 - 7m)

Теперь необходимо найти все целые значения n при целых m, удовлетворяющих выражению.

Проверяем значения m от -3 до 2:
При m = -3: n = (11(-3) - 7) / (19 - 7(-3)) = (-33 - 7) / (19 + 21) = -40 / 40 = -1
При m = -2: n = (11(-2) - 7) / (19 - 7(-2)) = (-22 - 7) / (19 + 14) = -29 / 33
При m = -1: n = (11(-1) - 7) / (19 - 7(-1)) = (-11 - 7) / (19 + 7) = -18 / 26
При m = 0: n = (11(0) - 7) / (19 - 70) = (-7) / 19
При m = 1: n = (11(1) - 7) / (19 - 7) = (11 - 7) / 12 = 4 / 12 = 1/3
При m = 2: n = (11(2) - 7) / (19 - 7*2) = (22 - 7) / (-5) = 15 / (-5) = -3

Таким образом, целые значения n при которых выражение 19n + 7 / 7n + 11 является целым числом: -1, -3.