Для нахождения производной функции ( \frac{1}{(x^2+x+1)^2} ) используем правило дифференцирования сложной функции (цепного правила) и правило дифференцирования обратной функции.

Пусть ( u = x^2 + x + 1 ).
Тогда наша функция может быть записана как ( y = u^{-2} ).

Найдем производную ( u ):
[ \frac{du}{dx} = 2x + 1 ]

Теперь найдем производную ( y ) по правилу цепной функции и обратной функции:
[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -2u^{-3} \cdot (2x + 1) ]

Заменим обратно ( u ) на ( x^2 + x + 1 ):
[ \frac{dy}{dx} = \frac{-2}{(x^2 + x + 1)^3} \cdot (2x + 1) ]
[ \frac{dy}{dx} = \frac{-4x - 2}{(x^2 + x + 1)^3} ]

Итак, производная функции ( \frac{1}{(x^2+x+1)^2} ) равна ( \frac{-4x - 2}{(x^2 + x + 1)^3} ).