Для начала определим дифференциал dx и dy:

dy = dy
dx = dx

Теперь перепишем уравнение в виде:

(y-2x+3)dx + (x-y+3)dy = 0

(y-2x+3)dx + (x-y+3)dy = 0

Теперь найдем частную производную уравнения по y:

∂/∂y(y-2x+3)dx + ∂/∂y(x-y+3)dy = 0

dx - dy = 0

dx = dy

Теперь подставляем dx вместо dy:

(y-2x+3)dx + (x-y+3)dx = 0

(y-2x+x-y+3)dx = 0

(0)dx = 0

Уравнение равносильно 0 = 0

Теперь найдем частные производные:

∂/∂x(y-2x+3) = -2
∂/∂y(y-2x+3) = 1

Зная эти частные производные, перепишем уравнение в виде:

dy/dx = (2x-y-3)/(y-2x+3)

Теперь решаем дифференциальное уравнение методом переменных:

dy/dx = (2x-y-3)/(y-2x+3)

(y-2x+3)dy = (2x-y-3)dx

ydy - 2xdy + 3dy = 2xdx - ydx - 3dx

ydy + ydx = 2xdx + 2xdy + 3dy - 3dx

ydy + ydx = 2xdx + 2dy - 3dx

ydy + ydx = 2xdx + 2dy - 3dx

ydy - 2dy = xdx - 3dx

y(dy - 2) = x(dx - 3)

(y-2)dy = x(dx-3)

∫(y-2)dy = ∫(x-3)dx

(y^2/2 - 2y) = (x^2/2 - 3x) + C

Теперь используем начальное условие y(1) = 2:

(1^2/2 - 21) = (1^2/2 - 31) + C

(1/2 - 2) = (1/2 - 3) + C

(-3/2) = (-5/2) + C

C = 2

Итак, окончательное решение дифференциального уравнения (y-2x+3)dx + (x-y+3)dy = 0 с начальным условием y(1) = 2 равно:

y^2/2 - 2y = x^2/2 - 3x + 2