Дано:

sinx < cos(x/2) < 0,

Необходимо доказать: cosx < 1/2.

Доказательство:

Из неравенства sinx < cos(x/2) следует, что sinx < cos(x/2) и cos(x/2) < 0. Поскольку cos(x/2) < 0, то x находится во второй или третьей четвертях.

Рассмотрим случай, когда x находится во второй четверти (180° < x < 270°). Тогда:

cosx = -cos(180° + x) = -cos(2*90° + x) = -(-cosx) = cosx,

получаем cosx = -cosx, что означает, что cosx = 0. Т.е. cosx < 1/2.

Рассмотрим случай, когда x находится в третьей четверти (270° < x < 360°). Тогда:

cos(x) < 0, т.к. cos угла в третьей четверти отрицателен.

Тогда, cos(2*180° - x) = -cos(180° - x) = -cos(90° + (90° - x)) = -cos(90° + (x - 90°)) = -sin(x - 90°) = -(-cosx) = cosx.

Таким образом, cosx = -cosx < 1/2.

Таким образом, в обоих случаях (вторая и третья четверти) неравенство cosx < 1/2 выполняется.

Следовательно, мы доказали, что для x, удовлетворяющим неравенству sinx < cos(x/2) < 0, справедливо неравенство cosx < 1/2.