Для того чтобы найти объем правильной четырёхугольной пирамиды, используем формулу:
V = (1/3) S h,
где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Поскольку у нас дано, что сторона основания равна 4, то площадь основания вычисляется как S = 4^2 = 16.
Высота пирамиды равна высоте равностороннего треугольника, образованного диагоналями основания и высотой пирамиды. Так как это правильная четырёхугольная пирамида, то угол между плоскостью основания и сторонами пирамиды равен 45 градусам. Таким образом, высота пирамиды равна h = 4 sin(45) = 4 sqrt(2) / 2 = 2 * sqrt(2).

Подставляем найденные значения в формулу:
V = (1/3) 16 2 sqrt(2) = 32 sqrt(2) / 3.

Ответ: объем правильной четырёхугольной пирамиды равен 32 * sqrt(2) / 3.