Для доказательства этого факта воспользуемся методом математической индукции.

Пусть плоскость грани $DD1CC1$ обозначается как $\pi$. Предположим, что прямая $AB1$ не параллельна плоскости $\pi$. Тогда существует точка $P$ на прямой $AB1$, которая не лежит в плоскости $\pi$.

Так как $P$ не лежит в плоскости $\pi$, то луч $DP$ пересечет плоскость $\pi$ в точке $Q$. Из этого следует, что треугольник $DQP$ пересекает грань $DD1CC1$, что противоречит построению куба.

Следовательно, предположение о том, что прямая $AB1$ не параллельна плоскости $\pi$, неверно. Значит, прямая $AB1$ параллельна плоскости грани $DD1CC1$.