Для нахождения критических точек функции f(x, y) при условии y + x = 2 воспользуемся методом множителей Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа L(x, y, λ):
L(x, y, λ) = x^2 + x + 2y^2 + 2y + 3 + λ(y + x - 2)

Найдем частные производные функции L(x, y, λ) по x, y и λ и приравняем их к нулю:
∂L/∂x = 2x + 1 + λ = 0
∂L/∂y = 4y + 2 + λ = 0
∂L/∂λ = y + x - 2 = 0

Из первого и второго уравнения получаем систему уравнений:
2x + 1 + λ = 0
4y + 2 + λ = 0

Решая данную систему уравнений, найдем значения x, y и λ:
Из уравнения 2x + 1 + λ = 0 следует, что x = -0.5 - 0.5λ.
Подставим это значение x в уравнение 4y + 2 + λ = 0:
4y + 2 + λ = 4y + 2 - 2λ = 0
4y = 2λ - 2
y = 0.5λ - 0.5

Подставим найденные значения x и y в условие y + x = 2:
0.5λ - 0.5 - 0.5 - 0.5λ = 2
0.5λ - 1 = 2
0.5λ = 3
λ = 6

Теперь найдем значения x и y:
x = -0.5 - 0.5 6 = -0.5 - 3 = -3.5
y = 0.5 6 - 0.5 = 3 - 0.5 = 2.5

Таким образом, критической точкой функции f(x, y) = x^2 + x + 2y^2 + 2y + 3 при условии y + x = 2 является точка (-3.5, 2.5).