Для начала найдем общее решение уравнения d²s/dt²=6t+8.

Интегрируя данное уравнение два раза, мы получим общее решение в виде:
s(t) = 3t² + 8t + C₁t + C₂,

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение задачи с начальными условиями s=12, ds/dt=-5, t=0.

Подставляя начальные условия и их производные в уравнение общего решения, получаем систему уравнений:

12 = 0 + 0 + 0 + C₂,
-5 = 0 + 8 + C₁.

Отсюда находим C₁ = -13, C₂ = 12.

Итак, частное решение уравнения d²s/dt²=6t+8 с начальными условиями s=12, ds/dt=-5, t=0 имеет вид:
s(t) = 3t² + 8t - 13t + 12 = 3t² - 5t + 12.