Пусть скорость первого поезда (V_1) км/ч, а скорость второго поезда (V_2) км/ч.

Тогда для первого поезда время в пути (t_1 = \frac{800}{V_1}) часов, а для второго поезда время в пути (t_2 = \frac{320}{V_2}) часов.

Из условия задачи также известно, что (t_1 = t_2 + 12).

Таким образом, у нас есть система уравнений:

[
\begin{cases}
\frac{800}{V_1} = \frac{320}{V_2} + 12, \
\frac{800}{V_1} - \frac{320}{V_2} = 12.
\end{cases}
]

Решив данную систему уравнений, найдем значения скорости каждого поезда:

[
\begin{cases}
\frac{800V_2}{V_1V_2} = \frac{320V_1}{V_1V_2} + 12, \
800V_2 - 320V_1 = 12V_1V_2.
\end{cases}
]

[800V_2 - 320V_1 = 12V_1V_2 \Rightarrow 800V_2 - 320V_1 = 12V_1V_2]

[V_1 = \frac{800V_2 - 12V_1V_2}{320}]

[V_1 = \frac{800V_2}{320} - 12V_1]

[V_1 + 12V_1 = \frac{800V_2}{320}]

[13V_1 = \frac{800V_2}{320}]

[13V_1 = 2.5V_2]

[V_1 = \frac{2.5V_2}{13}]

Подставим это значение обратно в уравнение:

[\frac{800}{\frac{2.5V_2}{13}} = \frac{320}{V_2} + 12]

[\frac{800 \cdot 13}{2.5V_2} = \frac{320 \cdot 13}{2.5V_2} + 12]

[ \frac{10400}{V_2} = \frac{4160}{V_2} + 12]

[ \frac{10400}{V_2} - \frac{4160}{V_2} = 12]

[ \frac{6240}{V_2} = 12]

[ V_2 = 520 \text{ км/ч} ]

[ V_1 = \frac{2.5 \times 520}{13} = 100 \text{ км/ч} ]

Теперь, найдем время в пути для каждого поезда:

[ t_1 = \frac{800}{100} = 8 \text{ часов} ]

[ t_2 = \frac{320}{520} = \frac{8}{13} \text{ часов} ]

Итак, первый поезд будет в пути 8 часов, а второй - 8/13 часа.