Для нахождения производной функции f(x) = √ctg(5x^2 - 7) сначала выразим функцию в виде f(x) = (ctg(5x^2 - 7))^0.5.

Теперь найдем производную этой функции:

f'(x) = 0.5(ctg(5x^2 - 7))^(-0.5) * ctg(5x^2 - 7)'

Для нахождения ctg(5x^2 - 7)' используем правило дифференцирования функции ctg(x):

(ctg(x))' = -csc^2(x)

Таким образом, ctg(5x^2 - 7)' = -csc^2(5x^2 - 7) * (5x^2 - 7)'

Так как (5x^2 - 7)' = 10x, то ctg(5x^2 - 7)' = -10x * csc^2(5x^2 - 7)

Подставляем это обратно в выражение для производной функции f(x):

f'(x) = 0.5 (ctg(5x^2 - 7))^(-0.5) (-10x * csc^2(5x^2 - 7))

Упрощаем:

f'(x) = -5x * csc^2(5x^2 - 7) / sqrt(ctg(5x^2 - 7))

Таким образом, производная функции f(x) = √ctg(5x^2 - 7) равна

f'(x) = -5x * csc^2(5x^2 - 7) / sqrt(ctg(5x^2 - 7).