Для исследования сходимости данного ряда sin(pi/4n) мы можем воспользоваться признаком сравнения.

У нас имеется ряд a_n = sin(pi/4n). Для упрощения исследования, рассмотрим ряд b_n = pi/4n. Тогда можем записать неравенство:

|sin(pi/4n)| <= pi/4n

Теперь исследуем ряд b_n = pi/4n. Этот ряд является гармоническим, и мы знаем, что гармонический ряд расходится.

Таким образом, по признаку сравнения, так как |sin(pi/4n)| <= pi/4n, а ряд pi/4n расходится, можно сделать вывод, что ряд sin(pi/4n) также расходится.