Итак, нам дано уравнение:

n^2 + 2^100 = k^2

Разложим выражение на два квадрата:

(2^50)^2 + 2^100 = k^2
(2^50)^2 + (2 * 2^50)^2 = k^2

Таким образом, это будет треугольное число вида пифагоровой теоремы, то есть (a^2 + b^2 = c^2). То есть, в данном случае n = 2 * 2^50, который равен 2^51.

Следовательно, существует только одно натуральное число n = 2^51, при котором n^2 + 2^100 является точным квадратом.