Дифференциальное уравнение:

e^x(1+e^y)dx + e^y(1+e^x)dy = 0

Разделим обе части уравнения на e^x*(1+e^y):

dx + e^(y-x)*dy = 0

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

∫dx + ∫e^(y-x)dy = C
x + e^(y-x) = C
e^(y-x) = C - x

Так как y=0 при x=0:

e^0 = C
C = 1

e^y = 1 - x
y = ln(1-x)

Итак, частное решение дифференциального уравнения при y=0 при x=0:

y = ln(1-x)