Для того чтобы найти уравнение третьей стороны треугольника, нам необходимо найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения медиан треугольника P(3;1) и перпендикулярной к другим двум сторонам.

Найдем координаты точек пересечения медиан треугольника с уравнениями сторон.
Для этого найдем точку пересечения медианы с каждой из сторон и решим систему уравнений.

4x - 5y + 9 = 0
x - 4y - 3 = 0

Из второго уравнения найдем x:
x = 4y + 3

Подставим x в первое уравнение:
4(4y + 3) - 5y + 9 = 0
16y + 12 - 5y + 9 = 0
11y + 21 = 0
11y = -21
y = -21/11
y = -3

Теперь найдем x:
x = 4(-3) + 3
x = -9 + 3
x = -6

Точка пересечения медианы и первой стороны треугольника: A(-6, -3)

x = 4y + 3
x = 4(1) + 3
x = 7

Точка пересечения медианы и второй стороны треугольника: B(7, 1)

Найдем уравнение прямой, проходящей через точку P(3;1) и перпендикулярной к медиане.
Так как медиана является отрезком, соединяющим вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, то она перпендикулярна стороне треугольника. А значит, прямая, проходящая через точку P и перпендикулярная медиане, будет параллельна стороне треугольника.

Таким образом, найдем уравнение прямой, проходящей через точку P(3;1) и параллельной стороне треугольника (A(-6, -3), B(7, 1)):

y - y1 = k(x - x1), где k - угловой коэффициент прямой, а (x1, y1) - координаты точки P
k = (1 - (-3))/(3 - (-6)) = 4/9

Уравнение прямой:
y - 1 = 4/9(x - 3)
9y - 9 = 4x - 12
9y = 4x - 3

Поскольку уравнение мы искали перпендикулярное медиане, то нужно поменять местами коэффициенты при x и y и инвертировать знак у одного из них (отражаемой в отношении к перпендикулярной прямой). Поэтому уравнение третьей стороны треугольника будет:
9x + 4y - 3 = 0

Ответ: Уравнение третьей стороны треугольника: 9x + 4y - 3 = 0.