Для нахождения производной данной функции необходимо применить правило дифференцирования произведения функций.

Сначала найдем производную ( y = \cos(2x) + 1 ) и ( y = x^3 + 1 ) по отдельности.

( \frac{dy}{dx} = -2\sin(2x) )( \frac{dy}{dx} = 3x^2 )

Теперь найдем производную произведения двух функций:

[ y' = (\cos(2x) + 1)(3x^2) + (\sin(2x) \cdot 2)(x^3 + 1) ]
[ y' = 3x^2\cos(2x) + 3x^2 + 2x^3\sin(2x) + 2\sin(2x) ]

Поэтому производная функции ( y = (\cos(2x) + 1)(x^3 + 1) ) равна:

[ y' = 3x^2\cos(2x) + 3x^2 + 2x^3\sin(2x) + 2\sin(2x) ]