Нет, не любой связный граф можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, если по каждому ребру разрешается проводить ровно два раза.

Это возможно только в том случае, если каждая вершина графа имеет четную степень (т.е. количество инцидентных ребер к данной вершине - четное число). Если хотя бы одна вершина имеет нечетную степень, то это невозможно, так как при проведении ребра к данной вершине будет нарушаться условие проведения ровно двух раз по каждому ребру.

Таким образом, для того чтобы граф был возможно нарисовать без отрыва карандаша, необходимо и достаточно, чтобы все его вершины имели четную степень.