Для начала нам нужно найти сторону основания треугольной призмы. Так как треугольная призма вписана в шар радиуса R, то три угла при основании этой призмы будут прямыми. Таким образом, каждая из сторон треугольника будет равна диаметру сферы, то есть 2R.

Далее, нам нужно найти высоту треугольной призмы. Для этого построим правильный треугольник, одна сторона которого равна 2R. Такой треугольник можно разбить на два прямоугольных треугольника с катетами R и R/√3 (половина одной из сторон равностороннего треугольника). Тогда, по теореме Пифагора, получим:

(R/√3)^2 + R^2 = (2R)^2,
R^2/3 + R^2 = 4R^2,
R^2 + 3R^2 = 12R^2,
4R^2 = 12R^2,
h = 2R√3/2 = R√3.

Таким образом, высота правильной треугольной призмы наибольшего объема, вписанной в шар радиуса R, равна R*√3.