Для определения собственных значений и собственных векторов матрицы третьего порядка необходимо решить уравнение:

det(A - λI) = 0,

где A - исходная матрица, λ - собственное значение, I - единичная матрица того же порядка.

Пусть дана матрица A:

A = \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \ \end{pmatrix}.

Тогда определяем собственные значения и собственные векторы по формуле:

|A - λI| = \begin{pmatrix} a-λ & b & c \ d & e-λ & f \ g & h & i-λ \ \end{pmatrix}.

Раскладываем определитель по первой строке:

det(A - λI) = (a-λ) \begin{pmatrix} e-λ & f \ h & i - λ \ \end{pmatrix} - b \begin{pmatrix} d & f \ g & i-λ \ \end{pmatrix} + c * \begin{pmatrix} d & e-λ \ g & h \ \end{pmatrix}.

Получаем уравнение, которое нужно решить для нахождения собственных значений λ. Далее, найдя собственные значения, можно найти собственные векторы, решив систему линейных уравнений:

(A - λI)x = 0.