Для решения этой задачи мы будем использовать следующие тригонометрические свойства:

Из данного условия мы уже знаем, что $\sin a=\frac{1}{3}$. Теперь можем найти значение $\cos a$:

${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$

$(\frac{1}{3}{)}^2+{\cos }^{2}a=1$

$\frac{1}{9}+{\cos }^{2}a=1$

${\cos }^{2}a=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$

$\cos a=\pm \sqrt{\frac{8}{9}}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Теперь можем найти остальные тригонометрические функции:

$\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{1}{3}}{\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}}=\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\cot a=\frac{1}{\tan a}=\frac{1}{\pm \frac{\sqrt{2}}{4}}=\pm \frac{4}{\sqrt{2}}=\pm 2\sqrt{2}$

$\sec a=\frac{1}{\cos a}=\frac{1}{\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}}=\pm \frac{3}{2\sqrt{2}}=\pm \frac{3\sqrt{2}}{4}$

$\csc a=\frac{1}{\sin a}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$