а) Для нахождения промежутков возрастания и экстремумов функции необходимо найти производную данной функции и приравнять её к нулю.

f'$x$ = 3x^2 + x

Теперь приравняем производную к нулю и найдем точки экстремума:

3x^2 + x = 0
x$3x+1$ = 0
x = 0 или x = -1/3

Таким образом, точки экстремума функции f$x$ = x^3 + 0.5x^2 равны x = 0 и x = -1/3. Далее проанализируем поведение функции вокруг этих точек, чтобы найти промежутки возрастания и убывания.

b) Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $$-1;3$$. Для этого вычислим значение функции в точках -1 и 3, а также в найденных точках экстремума $0и-1/3$.

f$-1$ = $-1$^3 + 0.5$-1$^2 = -1 + 0.5 = -0.5

f$3$ = 3^3 + 0.5$3$^2 = 27 + 4.5 = 31.5

f$0$ = 0^3 + 0.5*0^2 = 0

f$-1/3$ = $-1/3$^3 + 0.5$-1/3$^2 = -1/27 + 1/18 = 1/54

Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке $$-1;3$$ равно 31.5 $вточкеx=3$, а наименьшее значение равно -0.5 $вточкеx=-1$.