Пусть длина прямоугольника равна a, ширина - b, высота - h.
Так как диагональ равна 10 см, то из теоремы Пифагора получаем:
a^2 + b^2 + h^2 = 10^2 (1)

Также, из условия отношения длины к ширине:
a/b = 2 (2)

Далее, так как угол между диагональю и основанием равен 60 градусам, то из тригонометрических соотношений, можно записать:
cos60 = h/10
h = 10cos(60) = 5

Подставляем h = 5 в (1):
a^2 + b^2 + 25 = 100

Также, из (2) имеем a = 2b, подставляем это в уравнение:
(2b)^2 + b^2 + 25 = 100
4b^2 + b^2 + 25 = 100
5b^2 = 75
b^2 = 15
b = √15

Также из (2) следует, что a = 2√15

Итак, размеры прямоугольного параллелепипеда: длина a = 2√15 см, ширина b = √15 см, высота h = 5 см.

Расстояние от вершины не принадлежащей плоскости α до этой плоскости равно высоте равностороннего треугольника.
Из геометрии известно, что для равностороннего треугольника высота составляет sqrt(3)/2 умножить на сторону треугольника.
Таким образом, расстояние от вершины треугольника до плоскости α равно 5√3 см.