Для доказательства того, что 3²ⁿ⁺² - 8n - 9 делится на 64 при любых целых положительных значениях n, можно воспользоваться методом математической индукции.

База индукции:
При n = 1:
3²¹⁺² - 8*1 - 9 = 3²³ - 8 - 9 = 27 - 8 - 9 = 10
10 не делится на 64, поэтому база индукции не выполняется.

Предположение индукции:
Предположим, что для любого n = k, где k - целое положительное число, выражение 3²ⁿ⁺² - 8n - 9 делится на 64.

Индукционный переход:
Докажем, что если предположение индукции выполняется для n = k, то оно также выполняется для n = k + 1.

Рассмотрим выражение при n = k + 1:
3²ⁿ⁺² - 8(n+1) - 9 = 3²ᵏ⁺² - 8k - 8 - 9
Разложим это выражение:
3²ᵏ⁺² - 8k - 8 - 9 = (3²ᵏ)(3²) - 8k - 17 = 93²ᵏ - 8k - 17
Мы видим, что выражение 93²ᵏ - 8k - 17 равно (3²ᵏ - 8k - 9) * 9

Так как по предположению индукции выражение (3²ᵏ - 8k - 9) делится на 64, то это значит, что 9*3²ᵏ - 8k - 17 также будет делиться на 64.

Таким образом, мы доказали, что для любых целых положительных значений n выражение 3²ⁿ⁺² - 8n - 9 делится на 64.