Для начала найдем координаты точки Нагеля треугольника ABC. Пусть точки A, B, C имеют барицентрические координаты (λ:0:0), (0:μ:0), (0:0:ν) соответственно. Тогда координаты точки Нагеля будут (λ:μ:ν), где λ = a + b + c, μ = b + c + a, ν = c + a + b.

Далее найдем середину стороны BC. Середина стороны BC имеет барицентрические координаты (0:1:1).

Прямая, проходящая через точку Нагеля и середину стороны BC имеет уравнение в барицентрических координатах x + βy + γz = 0, где координаты точки Нагеля (λ:μ:ν) и середины стороны BC (0:1:1).

Подставляем значения координат в уравнение прямой:
λ + βμ + γν = 0
a + b + c + β(b + c + a) + γ(c + a + b) = 0
a(1 + β + γ) + b(1 + β + γ) + c(1 + β + γ) = 0
(1 + β + γ)(a + b + c) = 0
(1 + β + γ) * 19 = 0
1 + β + γ = 0
β + γ = -1

Таким образом, ответ: β = 1, γ = -1.