Для начала преобразуем это уравнение:

cos 2x + √2 cos(x + 0,5π) + 1 = 0

cos 2x + √2(cos x cos 0,5π - sin x sin 0,5π) + 1 = 0

cos 2x + √2(cos x 0 - sin x 1) + 1 = 0

cos 2x - √2sin x + 1 = 0

cos 2x - √2sin x = -1

cos 2x/sin x = -√2 - 1/sin x

tg 2x = -√2 - 1 => 2x = arctg(-√2 - 1) + kπ, где k - целое число

Теперь найдем сумму корней, принадлежащих промежутку [2π; 3,5π]:

2π ≤ arctg(-√2 - 1) + kπ ≤ 3,5π

Предположим k = 0:

2π ≤ arctg(-√2 - 1) ≤ 3,5π

Т.к. тангенс принадлежит промежутку (-∞, +∞), то решений у данного уравнения на заданном промежутке имеется бесконечное множество.

Таким образом, сумма корней, принадлежащих промежутку [2π; 3,5π], деленная на π, равна бесконечности.