Для решения данного уравнения, можно воспользоваться методом подбора корней или методом дискриминантов.

Метод подбора корней:
Подбираем целочисленные значения x, начиная с -3 и увеличивая на 1, пока не найдем корень уравнения.
При x = -1, подстановка в уравнение дает:
(-1)³ + 2(-1)² + (-1) + 1 = -1 + 2 - 1 + 1 = 1 ≠ 0
При x = 0, подстановка в уравнение дает:
0 + 0 + 0 + 1 = 1 ≠ 0
При x = 1, подстановка в уравнение дает:
1 + 2 + 1 + 1 = 5 ≠ 0
При x = 2, подстановка в уравнение дает:
8 + 8 + 2 + 1 = 19 ≠ 0
При x = 3, подстановка в уравнение дает:
27 + 18 + 3 + 1 = 49 ≠ 0

Таким образом, методом подбора корней нет возможности найти целочисленные корни для данного уравнения.

Метод дискриминантов:
Сначала найдем дискриминант уравнения:
D = 2² - 411 = 4 - 4 = 0

Так как дискриминант равен 0, уравнение имеет один действительный корень:
x = -b / 2a
x = -2 / 2*1
x = -1

Таким образом, уравнение x³ + 2x² + x + 1 = 0 имеет единственный действительный корень x = -1.