Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле:

S = P * h,

где P - периметр основания, h - высота боковой грани.

Так как основание правильного треугольника, то его периметр равен:

P = 3a,

где a - длина стороны треугольника.

Так как высота боковой грани равна половине диагонали правильного треугольника, то:

h = (1/2) √(a^2 + a^2) = (1/2) a√2.

Площадь боковой поверхности равна 70 см^2, поэтому:

70 = 3a (1/2) a√2,
70 = (3/2) * a^2√2.

Отсюда найдем длину стороны треугольника:

a^2 = 70 / ((3/2) √2) = 70 (2/3) * (1/√2) = 33.18,
a ≈ √33.18 ≈ 5.76 см.

Диагональ боковой грани равна 8 см, поэтому:

d = a√2 = 5.76 * √2 ≈ 8 см.

Теперь можем найти высоту боковой грани:

h = (1/2) a√2 = (1/2) 5.76 * √2 ≈ 4 см.

Объем призмы равен:

V = S a = 70 5.76 ≈ 403.2 см^3.