Обозначим первый член геометрической прогрессии через а, а знаменатель через q.

Тогда второй и восьмой члены будут равны aq и aq^7 соответственно.

Из условия получаем уравнение: aq + aq^7 = 9√2

Также известно, что четвертый, пятый и шестой члены равны aq^3, aq^4, a*q^5 соответственно.

Из второго условия получаем уравнение: aq^3 aq^4 a*q^5 = 64

Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными a и q. Зная их, мы сможем найти разность между девятым и первым членами.

Решим задачу:

Из первого уравнения найдем значение q:

aq + aq^7 = 9√2

a*q(1 + q^6) = 9√2

q(1 + q^6) = 9√2 / a

q^7 + q = 9√2 / a

q(q^6 + 1) = 9√2 / a

q^7 = 9√2 / a - q

q^7 = 9√2 / a - q

(3√2)q = 9√2 / a

a = 3

Теперь найдем значение q:

3q(1 + q^6) = 9√2

3q + 3q^7 = 9√2

3q(1 + q^6) = 9√2

a*q(1 + q^6) = 9√2

3*q = 9√2

q = 3√2

Теперь найдем девятый и первый члены:

Девятый член: aq^8 = 3(3√2)^8 = 32^4 = 316 = 48

Первый член: a = 3

Разность между девятым и первым членами: 48 - 3 = 45

Итак, разность между девятым и первым членами прогрессии равна 45.