Для начала найдем отношение площадей треугольников МBCN и AMND.

Площадь треугольника МВС равна половине произведения основания BC и высоты, опущенной из вершины M:

S(МВС) = 0.5 BC h_M,

где h_M - высота, опущенная из вершины M на сторону AB.

Так как AM : MV = 1 : 2, то h_M = 2h_A, где h_A - высота, опущенная из вершины A на сторону BC.

Площадь треугольника AMN равна половине произведения основания AD и высоты, опущенной из вершины M:

S(AMN) = 0.5 AD h_M.

Таким образом, отношение площадей S(МВС) и S(AMN) равно:

S(МВС) : S(AMN) = 0.5 BC 2h_A : 0.5 AD 2h_A = BC : AD.

Так как S(МВС) : S(AMN) = 3 : 4, то BC : AD = 3 : 4, а значит BC = 3k, AD = 4k.

Пусть CN = k_1, ND = k_2. Тогда CN + ND = CD = BC + AD = 3k + 4k = 7k.

Теперь составим отношение CN : ND:

CN : ND = 3k : 4k = 3 : 4.

Таким образом, отношение CN : ND равно 3 : 4.