Чтобы доказать, что n принадлежит числовому промежутку (3;12) ничего не включительно исходя из неравенства (n-3)(n-12)<0, нужно использовать метод символов Шура.

Найдем корни уравнения (n-3)(n-12)=0:
n-3=0 => n=3
n-12=0 => n=12

Поставим найденные корни на числовую прямую, обозначим их точками и подпишем их:
---O----3----12---

Разобьем числовую прямую на три интервала: (-∞;3), (3;12) и (12;+∞).

Выберем по очереди точку из каждого интервала и проведем тестирование неравенства (n-3)(n-12)<0, подставив в него выбранную точку:

Для интервала (-∞;3) возьмем n=0, получаем (0-3)(0-12)>0, что неверно.Для интервала (3;12) возьмем n=6, получаем (6-3)(6-12)<0, что верно.Для интервала (12;+∞) возьмем n=13, получаем (13-3)(13-12)>0, что неверно.

Таким образом, единственно возможное значение n, при котором неравенство (n-3)(n-12)<0 будет верным, это n принадлежит числовому промежутку (3;12) ничего не включительно.