Для вычисления данной суммы можно заметить, что она представляет собой алгебраическую прогрессию с разностью -1.

S = 1 - 2 + 3 - 4 + ... + 99 - 100
S = (1 + 3 + ... + 99) - (2 + 4 + ... + 100)
S = (1 + 3 + ... + 99) - 2(1 + 2 + ... + 50)

Теперь используем формулу для суммы арифметической прогрессии:
S1 = n(2a1 + (n-1)d) / 2
где n - количество членов, a1 - первый член, d - разность

Для нечетных чисел от 1 до 99:
n = 50, a1 = 1, d = 2
S1 = 50(21 + (50-1)2) / 2
S1 = 50(2 + 98) / 2
S1 = 50(100) / 2
S1 = 50 * 50
S1 = 2500

Для четных чисел от 2 до 100:
n = 50, a1 = 2, d = 2
S2 = 50(22 + (50-1)2) / 2
S2 = 50(4 + 98) / 2
S2 = 50(102) / 2
S2 = 50 * 51
S2 = 2550

Теперь найдем итоговую сумму:
S = S1 - S2
S = 2500 - 2550
S = -50

Итак, итоговая сумма равна -50.