Обозначим исходную дробь как $\frac{x}{y}$, где $x$ - числитель, $y$ - знаменатель.

По условию задачи имеем систему уравнений:

[
\begin{cases}
x = y - 4 \
\frac{x + 6}{y + 5} = \frac{x}{y} + \frac{1}{2}
\end{cases}
]

Решим первое уравнение:

$x = y - 4$

Подставляем это значение во второе уравнение:

[
\frac{y - 4 + 6}{y + 5} = \frac{y - 4}{y} + \frac{1}{2}
]

[
\frac{y + 2}{y + 5} = \frac{y}{y} - \frac{4}{y} + \frac{1}{2}
]

[
\frac{y + 2}{y + 5} = 1 - \frac{4}{y} + \frac{1}{2}
]

[
\frac{y + 2}{y + 5} = 1 + \frac{1}{2} - \frac{4}{y}
]

[
\frac{y + 2}{y + 5} = \frac{3y + 6 - 8}{2y}
]

[
\frac{y + 2}{y + 5} = \frac{3y - 2}{2y}
]

[
2y(y + 2) = (3y - 2)(y + 5)
]

[
2y^2 + 4y = 3y^2 + 15y - 2y - 10
]

[
2y^2 + 4y = 3y^2 + 13y - 10
]

[
y^2 - 9y + 10 = 0
]

[
(y - 1)(y - 10) = 0
]

Таким образом, получаем два возможных значения знаменателя: $y = 1$ или $y = 10$.

Если $y = 1$, то по первому уравнению $x = 1 - 4 = -3$. Однако такая дробь не может быть отрицательной, поэтому это решение не подходит.

Если $y = 10$, то по первому уравнению $x = 10 - 4 = 6$.

Исходная дробь: $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Таким образом, исходная дробь равна $\frac{3}{5}$.