Мы знаем, что у уравнений x^2 + ax + b + 1 = 0 и x^2 + bx + a + 1 = 0 есть по крайней мере один общий действительный корень.

Для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 с корнями x1 и x2 сумма корней равна -b/a.

Применяя это к нашим уравнениям, сумма корней первого уравнения равна -a, а сумма корней второго уравнения равна -b. Мы знаем, что у них есть общий корень, поэтому -a = -b.

Отсюда мы получаем, что a = b.

Таким образом, минимальное возможное значение суммы a + b будет достигаться, когда a = b. Значит, минимальное значение суммы a + b равно 2a.

Мы должны также заметить, что у нас есть ограничение в нашем уравнении - квадратные уравнения должны иметь хотя бы одно действительное решение. Это возможно только если дискриминант D каждого уравнения больше или равен нулю.

Для первого уравнения: a^2 - 4(b + 1) >= 0
а для второго уравнения: b^2 - 4(a + 1) >= 0

Рассмотрим неравенство a^2 - 4(b + 1) >= 0:
Если a = 1, то получаем 1 - 4(b + 1) >= 0, что означает b <= -3/4

Рассмотрим неравенство b^2 - 4(a + 1) >= 0:
Если b = 1, то получаем 1 - 4(a + 1) >= 0, что означает a <= -3/4

Значит, минимальное значение суммы a + b равно -3/2.