Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством медиан треугольника.

Пусть ABC - исходный треугольник, M - середина стороны AB, N - середина стороны AC, P - середина стороны BC.

Так как M и N - середины сторон AB и AC соответственно, то отрезок MN является медианой треугольника ABC, проведенной из вершины A. Аналогично, отрезок MP - медиана, проведенная из вершины B, отрезок NP - медиана, проведенная из вершины C.

Пусть точка O - точка пересечения отрезков MP и NP. Тогда по свойству медиан в треугольнике точка O делит медианы MP и NP в отношении 1:2.

Теперь рассмотрим треугольник MNP. В нем точка O - точка пересечения медиан, соответственно, по свойству точки пересечения медиан в треугольнике, эта точка делит отрезки, соединяющие медианы треугольника MNP с вершинами, в отношении 1:2.

Таким образом, отрезки, соединяющие медианы треугольника ABC с точками их пересечения, пересекаются в точке O и делятся в отношении 1:2. Перейдем к отрезкам, соединяющим
точки пересечения медиан противолежащих граней треугольника ABC.

Для удобства обозначим точки пересечения медиан противолежащих граней треугольника ABC следующим образом: точка пересечения медиан из A и D обозначим точкой X, из B и E - точкой Y, из C и F - точкой Z.

Так как точки X, Y, Z - точки пересечения медиан треугольника ABC, то из доказанного выше следует, что отрезки, соединяющие эти точки с вершинами треугольника ABC, пересекутся в одной точке и будут делиться в отношении 1:2.

Таким образом, отрезки, соединяющие точки пересечения медиан противолежащих граней треугольника ABC, пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1:2. Следовательно, отрезки, соединяющие отрезки треугольника с точками пересечения медиан противолежащих граней, также пересекаются в одной точке и делятся в отношении 3:1.