а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y=1/2 x², прямой y=-3x+8 и осью OX, нужно найти точки пересечения этих графиков. Пересечение параболы и прямой происходит при условии 1/2 x²=-3x+8.
Приведем уравнение к виду 1/2 x²+3x-8=0 и решим его с помощью дискриминанта.

D = (3)² - 4(1/2)(-8) = 9 + 16 = 25

x1 = (-3 + √25)/(21/2) = (-3 + 5)/1 = 2
x2 = (-3 - √25)/(21/2) = (-3 - 5)/1 = -8

Точки пересечения: (2, 1) и (-8, 14)

Теперь для вычисления площади можем воспользоваться определенным интегралом:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x))dx

S = ∫[-8, 2] (1/2 x² + 3x - 8)dx = [1/6 x³ + 3/2 x² - 8x] [-8, 2] = (8/3 + 6 - 16) - (-512/3 -96 -64) = 122/3 - 672/3 = -550/3

Ответ: Площадь фигуры равна -550/3

б) Чтобы найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси OX, нужно найти объем вращения фигуры вокруг оси OX с помощью интеграла:

V = ∫[a, b] π*(f(x))²dx

V = ∫[-8, 2] π(1/2 x²)²dx = π/4 ∫[-8, 2] x⁴dx = π/4 1/5 x⁵ |--8 2 = π/4 [(2)⁵ - (-8)⁵]/5 = π/4 2480/5 = 620π/5 = 124π

Ответ: Объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, равен 124π.