Для доказательства того, что уравнение 19x^3 - 17y^3 = 2012 не имеет решений в целых числах, будем использовать метод простого анализа.

Предположим, что уравнение имеет целочисленное решение. Запишем его в виде:

19x^3 - 17y^3 = 2012

Рассмотрим данное уравнение по модулю 19, т.е. применим операцию взятия остатка от деления на 19. Получим:

17y^3 ≡ 2012 (mod 19)

Заметим, что по модулю 19 куб числа может принимать только значения -1, 0, 1. Возведем теперь куб обоих частей уравнения в степень 6:

(17y^3)^6 ≡ 2012^6 (mod 19)

Рассмотрим все возможные случаи кубов чисел при возведении в степень 6:(17y^3)^6 ≡ (-1)^6 = 1 (mod 19)(17y^3)^6 ≡ 0^6 = 0 (mod 19)(17y^3)^6 ≡ 1^6 = 1 (mod 19)После подстановки значения обоих частей уравнения в различные возможные варианты по модулю 19, становится ясно, что уравнение не имеет целочисленных решений.

Таким образом, уравнение 19x^3 - 17y^3 = 2012 не имеет решений в целых числах.