Площадь параллелограмма можно найти по формуле: S = a b sin(угол),
где a и b - стороны параллелограмма, а угол - угол между этими сторонами.

Из условия задачи у нас даны значения a = 10 дм и b = 5√2 дм, а угол между ними равен 45 градусов.

Переведем угол из градусов в радианы:
45 градусов * π / 180 = π/4 радиан.

Теперь можем вычислить площадь параллелограмма:
S = 10 5√2 sin(π/4) = 50√2 * 1/√2 = 50 дм^2.

Таким образом, площадь параллелограмма равна 50 квадратным дециметрам.