Отношение площадей треугольников MNP и ABC равно 1:4.

Это можно легко доказать, используя соотношения в треугольниках.

Пусть точка M лежит на стороне AB и делит её в отношении k:$1-k$, точка N лежит на стороне BC и делит её в отношении l:$1-l$, а точка P лежит на стороне AC и делит её в отношении m:$1-m$.

Тогда площади треугольников MNP и ABC будут соответственно:

S$MNP$ = S$ABC$ kl*m

S$ABC$ = S$MNP$ / $k<em>l</em>m$

Известно, что отрезки, соединяющие вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, делятся пополам. Следовательно, k=l=m=1/2.

Таким образом, отношение площадей треугольников MNP и ABC равно 1:4.