Известно, что:

cos^2a - sin^2a = 1 $1$

cos^2a + sin^2a = 1 $2$

Умножим обе части уравнения $1$ на cos^2a и $2$ на sin^2a:

cos^4a - sin^2a*cos^2a = cos^2a $3$

cos^2a*sin^2a + sin^4a = sin^2a $4$

Теперь сложим уравнения $3$ и $4$:

cos^4a - sin^2acos^2a + cos^2asin^2a + sin^4a = cos^2a + sin^2a

cos^4a + sin^4a = cos^2a + sin^2a

cos^4a + sin^4a = 1

Таким образом, доказано тождество cos^4a - sin^4a = 1.

Теперь заменим sin^4a в исходном тождестве:

cos^4a - sin^4a = 1

cos^4a - $1-co{s}^{4}a$ = 1

cos^4a - 1 + cos^4a = 1

2cos^4a - 1 = 1

2cos^4a = 2

cos^4a = 1

Отсюда выводим, что cos^4a = 1, что и требовалось доказать.